是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3的n次方+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出m的最大值,

是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3的n次方+9对任意正整数f(n)都能被m整除?若存在,求出m的最大值,并证明你的结论；若不存在,请说明理由.
存在m,且m=36.
证明:
首先,f(1)=36, 所以m最大只能是36.
下面证明对于一切的n属于正整数,都有m|f(n).
n=1的时候,结论成立.
n>=2的时候,
f(n)=(2n+7)*9*3^(n-2)+9
=9*[(2n+7)*3^(n-2)+1].
只要证明
4|[(2n+7)*3^(n-2)+1]就可以了.
事实上,
n是奇数的时候,(2n+7)除以4余1,这个时候,3^(n-2)除以4余3,所以(2n+7)*3^(n-2)除以4余3,结论成立.
n是偶数的时候,(2n+7)除以4余3,这个时候,3^(n-2)除以4余1,所以(2n+7)*3^(n-2)除以4余3,结论仍然成立.
所以结论:4|[(2n+7)*3^(n-2)+1]总成立,
所以:n>=2的时候,也有36|f(n).
所以最大的m是36.