在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直于BC,点P为三角形ADB中任一点.试求证角APB>角APC

连PD.
∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BD＝CD,∠BAD＝∠CAD.
显然有：∠PDC＞∠ADC＝∠ADB＞∠PDB.
由BD＝CD,PD＝PD,∠PDC＞∠PDB,得：PC＞PB,∴∠PBC＞∠PCB.
由AB＝AC,得：∠ABC＝∠ACB,结合证得的∠PBC＞∠PCB,
得：∠ABC－∠PBC＜∠ACB－∠PCB,即：∠PBA＜∠PCA.
而∠PAB＜∠BAD＝∠CAD＜∠PAC,∴∠PBA＋∠PAB＜∠PCA＋∠PAC,
∴180°－（∠PBA＋∠PAB）＞180°－（∠PCA＋∠PAC）,
又∠APB＝180°－（∠PBA＋∠PAB）,∠APC＝180°－（∠PCA＋∠PAC）,
∴∠APB＞∠APC.

假设线段PC和AD相交于E点，连接BE，不难证明：角PAC+角PCA>角PBA+角PAB，根据三角形内角和等于180度，显然有：角APB>角APC。