已知函数f(x)=2x^2,g(x)=alnx(a>0),点P(x0,y0)是函数g(x)上任意一点,直线l为函数g(x

(1)g'(x)=a/x (a>0)
在P(x0,y0)处,直线L的斜率k=g'(x0)=a/x0,直线L方程为y-alnx0=a(x-x0)/x0,即ax-x0y+ax0(lnx0-1)=0
(2)若存在P(x0,y0)满足条件,则联立直线L方程与抛物线y=2x²,只有一个交点.
消y化简有2x0x²-ax+ax0(1-lnx0)=0
有Δ=a²-4*2x0*ax0(1-lnx0)=0,得到a=8(x0²)(1-lnx0)
因为a>0,x0>0,所以求得x0的取值范围是(0,e)
对a关于x0求导有16x0(1-lnx0)-8x0=0,解得当x0=√e时取到极大值a=4e,当00,当a>0时a≠8(x0²)(1-lnx0)恒成立
因为8(x0²)(1-lnx0)在x0>0的取值范围是(-∞,4e],所以只能a>8(x0²)(1-lnx0)!即a>4e
不妨令x1≤x2,h(x)=f(x)+g(x),则至少分别存在一点ξ∈[x1,x2],满足h'(ξ)=[h(x1)-h(x2)]/(x1-x2).
因为f'(ξ)=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=4ξ,g'(η)=[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)=a/ξ
所以h'(ξ)=f'(ξ)+g'(ξ)=4ξ+a/ξ≥4√a>8√e
故,[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)+[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)>8√e