有关导数和不等式的,很有难度的已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(
有关导数和不等式的,很有难度的
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k属于Z,且k1恒成立,求k的最大值；
(3)当n>m≥4时,证明(mn^n)^m>(nm^m)^n.
第三问是[m乘以(n的n次方)]的m次方>[n乘以(m的m次方)]的n次方
个人感觉第三问要用到第二问的结果
f(x)=x+xlnx,f'(x)=2+lnx
[f(x)/(x-1)]'=[f'(x)(x-1)-(x-1)'f(x)]/(x-1)^2=[(2+lnx)(x-1)-x(lnx+1)]/(x-1)^2=(x-lnx-2)/(x-1)^2
(mn^n)^m>(nm^m)^n
n^nm^mn
m^(mn-m)
m^m(n-1)
m^[m/(m-1)]
m/(m-1)lnm
mlnm/(m-1)
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k属于Z,且k1恒成立,求k的最大值；
(3)当n>m≥4时,证明(mn^n)^m>(nm^m)^n.
第三问是[m乘以(n的n次方)]的m次方>[n乘以(m的m次方)]的n次方
个人感觉第三问要用到第二问的结果
f(x)=x+xlnx,f'(x)=2+lnx
[f(x)/(x-1)]'=[f'(x)(x-1)-(x-1)'f(x)]/(x-1)^2=[(2+lnx)(x-1)-x(lnx+1)]/(x-1)^2=(x-lnx-2)/(x-1)^2
(mn^n)^m>(nm^m)^n
n^nm^mn
m^(mn-m)
m^m(n-1)
m^[m/(m-1)]
m/(m-1)lnm
mlnm/(m-1)
赞 stylent 幼苗
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这个题目老师前2天刚讲过
便宜你了
我直接奉上标准解答!
解析：
(1)
f'=a+lnx+1
a+2=3
a=1
(2)f(x)=x(1nx+1)
构造一个函数g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
则g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²
令h(x)=x-1nx-2(x>1),则h'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴h(x)在（1,+∞）上单调递增
又h(3)=1-1n30
∴h(x)在区间（3,4）上有一个零点,记为x₀,则x₀=1nx₀+2
当10
∴g(x)在（1,x₀）上单调递减,在（x₀,+∞)上单调递增
∴g(x)有最小值g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
∴km>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
令g(x)=x-1nx-1(x>1),则g'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增
又g(1)=0,∴g(x)>0 ∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增
∴当n>m>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)
便宜你了
我直接奉上标准解答!
解析：
(1)
f'=a+lnx+1
a+2=3
a=1
(2)f(x)=x(1nx+1)
构造一个函数g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
则g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²
令h(x)=x-1nx-2(x>1),则h'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴h(x)在（1,+∞）上单调递增
又h(3)=1-1n30
∴h(x)在区间（3,4）上有一个零点,记为x₀,则x₀=1nx₀+2
当10
∴g(x)在（1,x₀）上单调递减,在（x₀,+∞)上单调递增
∴g(x)有最小值g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
∴km>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
令g(x)=x-1nx-1(x>1),则g'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增
又g(1)=0,∴g(x)>0 ∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增
∴当n>m>1时,n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)
1年前 追问
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