x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：

解题思路：先由x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，得到关于x₁与x₂的两个等式，再设f（x）=[a/2]x²+bx+c，利用条件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可说明方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0
−ax22+bx2+c＝0
设f（x）=[a/2]x²+bx+c，
则f（x₁）=[a/2]x₁²+bx₁+c=-[a/2]x₁²，
f（x₂）=[a/2]x₂²+bx₂+c=[3a/2]x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-[3/4]a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．

证明：分别把x1，x2带入方程得：
ax1²+bx1+c=0,
-ax2²+bx2+c=0
即bx1+c=-ax1² ，bx2+c=ax2²
所以f(x1)f(x2)=（(a/2)x1²+bx1+c）·（(a/2)x2²+bx2+c）
=（(a/2)x1²- a x1²）·...