x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:

x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程[a/2]x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间.
qingyufu 1年前 已收到1个回答 举报

我只是我的ww 春芽

共回答了10个问题采纳率:100% 举报

解题思路:先由x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,得到关于x1与x2的两个等式,再设f(x)=[a/2]x2+bx+c,利用条件推出f(x1)f(x2)<0,即可说明方程[a/2]x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间.

证明:由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根,
所以有

ax12+bx1+c=0
−ax22+bx2+c=0
设f(x)=[a/2]x2+bx+c,
则f(x1)=[a/2]x12+bx1+c=-[a/2]x12
f(x2)=[a/2]x22+bx2+c=[3a/2]x22
∴f(x1)f(x2)=-[3/4]a2x12x22
由于x1≠x2,x1≠0,x2≠0,
所以f(x1)f(x2)<0,
因此方程[a/2]x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间.

点评:
本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系.

考点点评: 本题考查一元二次方程根的分布问题.在解题过程中用到了零点存在性定理,若想说函数在某个区间上有零点,只要区间两端点值异号即可.

1年前

2
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.028 s. - webmaster@yulucn.com