椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)上任意两点A.B,且OA垂直OB ,
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)上任意两点A.B,且OA垂直OB ,
（I)若直线OA的概率为k,用a,b和k表示0A的长度/OA/; ( II )证明/OA/./OB/的最小值为(2a^2b^2)/(a^2+b^2) . 谢谢.
（I)若直线OA的概率为k,用a,b和k表示0A的长度/OA/; ( II )证明/OA/./OB/的最小值为(2a^2b^2)/(a^2+b^2) . 谢谢.
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1.OA为y=kx,x²2/a²2+y²2/b²2=1,x²=a²b²/(a²k²+b²),y²=k²a²b²/(a²k²+b²),
│OA│=ab√[(1+k²)/(a²k²+b²)]；
2.OB为y=-1/kx,x²=k²a²b²/(b²k²+a²),y²=a²b²/(b²k²+a²),
│OB│=ab√[(1+k²)/(b²k²+a²)]；k=sinα/cosα
│OA│*│OB│=a²b²√(cos²α+sin²α)/[(a²sin²α+b²cos²α)]*√(cos²α+sin²α)/[(b²sin²α+a²cos²α)]
=a²b²√[1/(a²sin²α+b²cos²α)*(b²sin²α+a²cos²α)]
=a²b²/√[a²b²(sin²α+cos²α)²+(a²-b²)²sin²αcos²α]
=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]*sin²2α} 当sin²2α=1时分母最大
│OA│*│OB│的最小值=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]=2a²b²/(a²+b²)
│OA│=ab√[(1+k²)/(a²k²+b²)]；
2.OB为y=-1/kx,x²=k²a²b²/(b²k²+a²),y²=a²b²/(b²k²+a²),
│OB│=ab√[(1+k²)/(b²k²+a²)]；k=sinα/cosα
│OA│*│OB│=a²b²√(cos²α+sin²α)/[(a²sin²α+b²cos²α)]*√(cos²α+sin²α)/[(b²sin²α+a²cos²α)]
=a²b²√[1/(a²sin²α+b²cos²α)*(b²sin²α+a²cos²α)]
=a²b²/√[a²b²(sin²α+cos²α)²+(a²-b²)²sin²αcos²α]
=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]*sin²2α} 当sin²2α=1时分母最大
│OA│*│OB│的最小值=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]=2a²b²/(a²+b²)
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