（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：x2a21-y2b21=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：y2a22

（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C₁：

=1（a₁＞0，b₁＞0）和椭圆C₂：

=1（a₂＞b₂＞0）均过点P（

，1），且以C₁的两个顶点和C₂的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C₁交于A、B两点，与C₂只有一个公共点，且|

|=|

|？证明你的结论．

angleattila 1年前已收到1个回答举报

waeoriu 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由条件可得a₁=1，c₂=1，根据点P（

，1）在上求得b12=3，可得双曲线C₁的方程．再由椭圆的定义求得a₂=

，可得b22=a22-c22的值，从而求得椭圆C₂的方程．
（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|

|≠|

|．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由

y＝kx+m

x2−

＝1

可得y₁•y₂=

3k2−3m

k2−3

．由

y＝kx+m

＝1

可得（2k²+3）x²+4kmx+2m²-6=0，根据直线l和C₁仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k²=m²-3，可得

•

≠0，可得|

|≠|

|．综合（1）、（2）可得结论．

（Ⅰ）设椭圆C₂的焦距为2c₂，由题意可得2a₁=2，∴a₁=1，c₂=1．
由于点P（
2
3
3，1）在上，∴(
2
3
3)2-
1
b12=1，b12=3，
∴双曲线C₁的方程为：x²-
y2
3=1．
再由椭圆的定义可得 2a₂=
(
2
3
3−0)2+(1−1)2+
(
2
3
3−0)2+(1+1)2=2

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

1年前

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