一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n

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这是一个很简单的线代证明了!
因为A^2=A,所以A(A-E)=0
则有：
R(A)+R(A-E)小于等于n
又因为(A-E)+(-A)=-E
则有：
R(-A)+R(A-E)大于等于n
由于R(-A)=R(A)
所以R(A)+R(A-E)大于等于n
由夹逼定理可知：
R(A)+R(A-E)等于n
陈文灯的数学考研辅导有专门介绍,就是一个定理的使用!
相信能够解决您提出的问题!

1年前追问

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谢谢，再追问一题：已知A、B、C均为n阶方阵，行列式（Ｅ－Ａ）不等于０，如果Ｃ＝Ａ＋ＣＡ，Ｂ＝Ｅ＋ＡＢ，求证：Ｂ－Ｃ＝Ｅ

举报 p53az

Ｂ＝Ｅ＋ＡＢ，则有： B（E-A）=E Ｃ＝Ａ＋ＣＡ，则有： C（E-A）=A 上面两式相减，得： (B-C)(E-A)=E-A 即： (B-C-E)(E-A)=0 也就是说，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩等于0 同时，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩小于等于R(B-C-E)和R(E-A)中的最小值。由于E-A不等于0，所以R(E-A)大于等于1 那么只能是R(B-C-E)=0 即B-C-E=0 所以B-C=E 请楼主参考！备注：陈文灯的数学考研辅导中都有介绍，楼主看一下即可！

神秘了西西幼苗

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因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；
可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n故A-E的每个列向量都是方程 Ax=0的解，由于A-E...

1年前

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