线性代数-矩阵证明题设n阶方阵A满足:A的平方=E(n阶单位阵）,｜A+E｜≠0,证明A=E 有一本练习册后的答案是这样

线性代数-矩阵证明题
设n阶方阵A满足:A的平方=E(n阶单位阵）,｜A+E｜≠0,证明A=E
有一本练习册后的答案是这样的：
因为 A的平方=E
所以 A的平方-E=零矩阵 所以(A-E)(A+E)=零矩阵 又｜A+E｜≠0 所以A-E=0 即A=E
这里我就不明白了,如果AB=O,应该只能推出｜A｜=0或｜B｜=0啊,而不能推出A=零矩阵或B=零矩阵?
wlb12007ihfo 1年前 已收到3个回答 举报
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kungliu 幼苗

共回答了25个问题采纳率：88% 举报

他省了一步.
｜A+E｜≠0,而A+E又是方阵,所以A+E是可逆阵.在(A-E)(A+E)=零矩阵的等号两边右乘(A+E)的逆矩阵,得A-E=0,即A=E.

1年前

1

小民abc 幼苗

共回答了309个问题 举报

若MN=0，且|N|≠0，则M=0
证：
因|N|≠0，故N有逆矩阵N^-1，
MN=0
MNN^-1 = 0*N^-1
M=0

1年前

2

y166721845 幼苗

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以下令rank(A)为A的秩
因为rank(A-E)=rank(A-E)(A+E)=rank(0)=0
所以A-E=0
所以A=E

1年前

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