一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.

k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0
上式两端左乘A^(m-1)]之后
除k1[A^(m-1)]x这项之外的其他项,就变成
【k2Ax+...+km[A^(m-1)]x】*A^(m-1)
=k2(A^m)x+k3【A^（m+1)】x+...+km[A^(2m-2)]x
因为(A^m)x=0,所以上式
=k2(A^m)+k3*（A^m)x*A+k4*（A^m)x*A^2+……+km*（A^m)x*[A^(m-2)]
=k2*0 +k3*0*A +k4*0*A^2+……+km*0*[A^(m-2)]
=0

答：k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0 左乘A^(m-1)]后为：
k1[A^(m-1)]x+k2(A^(m-1))Ax+k3(A^(m-1))A^2x+....+km(A^(m-1))(A^m-1)x,由A^m=0可知：k2(A^(m-1))Ax=k2A^mx=0;k3=A^(m+1)x=0;以此类推，以后的全是0.因原式右边为0，所以：左边只剩k1[A^(m-1)]x肯定应为0。

k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0 ,该式两端左乘A^(m-1)]得，
k1A^(m-1)]x+k2A^mx+...+km[A^(2m-2)]x=0,
上式除第一项外,每一项A的指数不小于m,由,(A^m)x=0.可知除第一项外其他其项均为零,即
k1A^(m-1)]x+0+0+...+0=0
于是得k1A^(m-1)]x=0,又[A^(m-1)]x≠0,故得k1=0.
明白了没有?