请问N阶方阵证明题设A是n阶方阵,证明：(1) |kA|=k^n|A| (k为非零常数)(2)|AA'|=|A|^2(3
请问N阶方阵证明题
设A是n阶方阵,证明：
(1) |kA|=k^n|A| (k为非零常数)
(2)|AA'|=|A|^2
(3)如果AA’=E（单位矩阵）则|A|=+/-1
求：P（A|
设A是n阶方阵,证明：
(1) |kA|=k^n|A| (k为非零常数)
(2)|AA'|=|A|^2
(3)如果AA’=E（单位矩阵）则|A|=+/-1
求：P（A|
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主要工具都是|MN|=|M|*|N|
(1) kA=(kE)A,所以|kA|=|kE|*|A|.kE是n阶对角阵,对角元全为k,所以行列式|kE|=k*k*...*k=k^n.所以|kA|=k^n|A|
(2) |AA'|=|A|*|A'|.A'是A的转置方阵,总有|A'|=|A|,所以|AA'|=|A|*|A|=|A|^2
(3) 若AA'=E,由(2)可知|A|^2=|AA'|=|E|=1,所以|A|=±1
(1) kA=(kE)A,所以|kA|=|kE|*|A|.kE是n阶对角阵,对角元全为k,所以行列式|kE|=k*k*...*k=k^n.所以|kA|=k^n|A|
(2) |AA'|=|A|*|A'|.A'是A的转置方阵,总有|A'|=|A|,所以|AA'|=|A|*|A|=|A|^2
(3) 若AA'=E,由(2)可知|A|^2=|AA'|=|E|=1,所以|A|=±1
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