用单调有界准则证明该数列收敛并求极限【第五个】

证明这个数列单调递减且有上界即可.
1、用数学归纳法证明这个数列有上界：
(1) 当n=2时,x2 = (1/2)(x1+a/x1) ≥√a 成立；
(2) 假设当n=k时,xk ≥√a 成立,则必有 xk > 0
于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)据数学归纳法原理,得 对n≥2,总有Xn≥√a
即数列[an}有上界是√a
2、用比较法证明这个数列单调递减
当n≥2时
因为xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]
由上面已证的结论有：xn≥√a ,所以-a/xn ≥ - a/(√a)=-√a
于是xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]≥ 0
故对n≥2,总有Xn≥X(n+1)
所以数列[an}单调递减
3、因为数列[an}单调递减且有上界,所以数列[an}的极限存在,设limx(n+1)=limxn=A
于是由x(n+1)=(1/2)(xn+a/xn)得
limx(n+1)=lim(1/2)(xn+a/xn)
即A=（1/2)(A+a/A)
解得A=√a
即limxn=√a