（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， B
| （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝30， AB ＝50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE ⊥ AB ，与边 AC 或 BC 相交于 E ．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上， EM ＝ EN ，  ．（1）如图1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A 、 C 重合，设 AP ＝ x ， BN ＝ y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△ AME ∽△ ENB （△ AME 的顶点 A 、 M  、 E 分别与△ ENB 的顶点 E 、 N 、 B 对应），求 AP 的 长． |
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(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
[解] (1) 由 AE =40， BC =30， AB =50，Þ CP =24，又sinÐ EMP =
Þ CM =26。
(2) 在Rt△ AEP 與Rt△ ABC 中，∵Ð EAP =Ð BAC ，∴ Rt△ AEP ~ Rt△ ABC ，
∴
，即
，∴ EP =
x ，
又sinÐ EMP = ÞtgÐ EMP =
=
Þ =
，∴ MP =
x = PN ，
B
N = AB - AP - PN =50- x - x =50-
x (0< x <32)。
(3) j當 E 在線段 AC 上時，由(2)知，
，即
，Þ EM =
x = EN ，
又 AM = AP - MP = x - x =
x ，
由題設△ AME ~ △ ENB ，∴
，Þ
=
，解得 x =22= AP 。
k當 E 在線段 BC 上時，由題設△ AME ~ △ ENB ，∴Ð AEM =Ð EBN 。
由外角定理，Ð AEC =Ð EAB +Ð EBN =Ð EAB +Ð AEM =Ð EMP ，
∴ Rt △ ACE ~ Rt △ EPM ，Þ
，即
，Þ CE =
…j。
設 AP = z ，∴
PB =50- z ，
由 Rt △ BEP ~ Rt △ BAC ，Þ
，即
=
，Þ BE =
(50- z )，∴
CE = BC - BE =30- (50- z )…k。
由j，k，解 =30- (50- z )，得 z =42= AP 。
略
[解] (1) 由 AE =40， BC =30， AB =50，Þ CP =24，又sinÐ EMP =
Þ CM =26。(2) 在Rt△ AEP 與Rt△ ABC 中，∵Ð EAP =Ð BAC ，∴ Rt△ AEP ~ Rt△ ABC ，
∴
，即
，∴ EP =
x ，又sinÐ EMP =
ÞtgÐ EMP =
=
Þ =
，∴ MP =
x = PN ，B
N = AB - AP - PN =50- x - x =50-
x (0< x <32)。(3) j當 E 在線段 AC 上時，由(2)知，
，即
，Þ EM =
x = EN ，又 AM = AP - MP = x -
x =
x ，由題設△ AME ~ △ ENB ，∴
，Þ
=
，解得 x =22= AP 。k當 E 在線段 BC 上時，由題設△ AME ~ △ ENB ，∴Ð AEM =Ð EBN 。
由外角定理，Ð AEC =Ð EAB +Ð EBN =Ð EAB +Ð AEM =Ð EMP ，
∴ Rt △ ACE ~ Rt △ EPM ，Þ
，即
，Þ CE =
…j。設 AP = z ，∴
PB =50- z ，由 Rt △ BEP ~
Rt △ BAC ，Þ
，即
=
，Þ BE =
(50- z )，∴
CE = BC - BE =30- (50- z )…k。由j，k，解
=30- (50- z )，得 z =42= AP 。 略
1年前
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