1.已知,f(x)=x^2/(1+x^2),求f(1)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n

第一题
两个问题：1、x^2是表示x的二次方吗?2、f(1/2)前是否少了一个f(2)
如果是,则
f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+……+f(n)+f(1/n)
=1^2/(1+1^2）+2^2/(1+2^2))+(1/2)^2/[1+(1/2)^2]+…3^2/(1+3^2)+…n^2/(1+n^2)+(1/n)^2/[1+(1/n)^2]
把f(x)=x^2/(1+x^2)代入f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+……+f(n)+f(1/n),式子可能有点麻烦,但一定要耐心,这种题往往有规律可循.代入之后要细心观察,如果没有思路,可以进行适当的化简——
=1/2+[2^2/(1+2^2)+1/(1+2^2)]+[3^2/(1+3^2)+1/(1+3^2)]+…+[n^2/(1+n^2)+1/(1+n^2)]
这样找到一定规律后,就开始进行同分母的加法运算
=1/2+(1+2^2)/(1+2^2)+(1+3^2)/(1+3^2)+…(1+n^2)/(1+n^2)
=1/2+1+1+…+1(共有n-1个1)
=1/2+n-1
=n-1/2
像这种整数与分数交叉相加减的题,一般都可以凑成1、0等便于运算的数.多做一些这方面的题,就可以训练思维的敏捷度.
第二题
第二题与第一题是同类型的题目,可以照第一题的解题思路解答
首先,可以将1/[√n+√(n+1)]进行化简——
在分子与分母上同乘 [√n-√(n+1)],套用平方差公式,使分母有理化
1/[√n+√(n+1)]
=(1×[√n-√(n+1)])/([√n+√(n+1)]×[√n-√(n+1)])
=[√n-√(n+1)]/[(√n)^2-(√(n+1))^2]
=[√n-√(n+1)]/[n-(n+1)]
=[√n-√(n+1)]/(-1)
=√(n+1)-√n
将1/(√n+√(n+1))=√(n+1)-√n代入原式,进行适当化简
1/（√1+√2)+1/(√2+√3)+1/√(3+√4)+……+1/(√99+√100）
=(√2-√1)+(√3-√2)+……+(√100-√99)
将小括号去掉,用消元法化简,得
=-√1+√2-√2+√3-√3+……+√99-√99+√100
=√100-√1
=10-1
=9

1. 可以推出f(n)+f(1/n)=1，
则f(1)+f(1/1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n)=n
2. 1/(√n+√(n+1))=√(n+1)-√n
则1/（√1+√2)+1/(√2+√3)+1/√(3+√4)+……+1/(√99+√100）
=(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+……+(√100...