已知非零实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,且a(1\b+1\c)+b(1\c+1\a)+c(1\a+1\b)=-3

a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b=-3
把-3拆成-1+(-1)+(-1)
移到左边
(a/b+c/b+1)+(a/c+b/c+1)+(b/a+c/a+1)=0
(a+b+c)/b+(a+b+c)/c+(a+b+c)/a=0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
(a+b+c)(ab+bc+ca)/abc=0
所以(a+b+c)(ab+bc+ca)=0
令k=a+b+c
则k²=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca)
所以ab+bc+ca=(k²-1)/2
所以k*(k²-1)/2=0
k(k+1)(k-1)=0
所以a+b+c=0或-1或1

a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)
=a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)-3
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3
=-3
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
(a+b+c)(ab+bc+ca)/abc=0
a+b+c=0 或： ab+bc+ca=...

1/b+1/c中就缺a/a就可因式分解了 同理 得：a(1/b+1/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=0 a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0 这就好办了 a+b+c=0或 1/a+1/b+1/c=0 通分 (ab+bc+ac)/abc=0 因为abc不等于...