5．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn²-(n²+n-3)Sn-3(n

令n=1,则S1=a1
代入原式得：a1²+a1-6=0
解得a1=-3（舍去）
或a1=2


2.
Sn²-(n²+n-3)Sn-3(n²+n)=0
十字相乘法分解为：
(Sn+3)(Sn-n²-n)=0
解得：
Sn=-3 (舍去)
或 Sn=n²+n
则S[n-1]=(n-1)²+(n-1)=n²-n
相减得：an=2n


3.

1/[a1(a1+1)] +1/[a2(a2+1)]+…+1/[an(an+1)]
=1/2*3 +1/4*5 + 1/6*7 +...+1/2n*(2n+1)


令p=1/4*5 + 1/6*7 +...+1/2n*(2n+1)
令q=1/3*4+1/5*6+1/7*8+...+1/(2n-1)*2n

可知p

p+q=1/3*4+1/4*5+1/5*6+...+1/(2n-1)*2n+1/2n*(2n+1)
裂项得：
p+q=(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+...+(1/(2n-1)-1/2n)+(1/2n-1/(2n+1))=1/3-1/(2n+1)
∴2p<1/3-1/(2n+1)<1/3
p<1/6



原式=1/2*3 +p<1/6+1/6
所以原式<1/3

S^2 n -(n^2+n-3)Sn-3(n^2+n)
=(Sn+3)(Sn-n^2-n)=0
所以Sn=n^2+n
S(n+1)=(n+1)^2+n+1
S(n+1)-Sn=n^2+3n+2-n^2-n=2n+2 =a(n+1)
an=2n
(1)a1=2
(2)an=2n
(3)1/ana(n+1)=1/(2n*2(n+1))

a1=2，an=2n，不等式放大，1/(2n(2n+1))<1/(2n(2n))=1/(4n^2)<1/4<1/3