已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲
已知双曲线
−
＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
(1，
)
| 2 |
| 3 |
| 3 |
(1，
)
． | 2 |
| 3 |
| 3 |
赞 身由心飞 幼苗
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解题思路：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba＜33，求得a和b的不等式关系，进而根据b=c2−a2转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即[b/a]＜tan30°=
3
3，∴b＜
3
3a
∵b=
c2−a2，∴
c2−a2＜
3
3a，
整理得c＜
2
3
3a，∴e=[c/a]＜
2
3
3
∵双曲线中e＞1，∴e的范围是（1，
2
3
3）
故答案为：（1，
2
3
3）．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
1年前
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