已知点P(2，1)在双曲线x2a2−y2b2＝1上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．

解题思路：（1）由点P(

2

，1)在双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1，知

( 2 −c)2+(1−0)2

=1，即c=

2

，设双曲线方程为

x2

a2

−

y2

2−a2

＝1，把点P(

2

，1)代入，能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程是x²-y²=1，知F（

2

，0），故直线L₁的方程是：y＝k(x−

2

)，由

y＝k(x− 2 ) x2−y2＝1

，得（1-k²）x²+2

2

k2x−2k2−1＝0，由此利用弦长公式能求出L₁的斜率的取值范围．

（1）∵点P(
2，1)在双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1上，
且它到双曲线一个焦点F的距离是1，
∴
(
2−c)2+(1−0)2=1，即c=
2，
设双曲线方程为
x2
a2−
y2
2−a2＝1，
把点P(
2，1)代入，得
2
a2−
1
2−a2＝1，
整理，得a⁴-5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴双曲线方程是x²-y²=1．
（2）∵双曲线方程是x²-y²=1，∴F（

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查双曲线方程的求法和求直线求的斜率的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，易错点是容易忽视直线与双曲线渐近线平行的情况．