已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点(3，

解题思路：（1）依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为

x2

a2

−

y2

4−a2

＝1（0＜a²＜4），将点（3，

7

）代入上式，能求出双曲线方程．
（2）设M（x，y）由题意M为线段PQ的中点，则P（2x，2y-2），由此能得到动点M的轨迹方程．
（3）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，所以

1−k2≠0 △＝(−4k)2+4×6(1−k2)＞0

，由此能求出满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=

2

x+2和y＝−

2

x+2．

（1）依题意，由a²+b²=4，
得双曲线方程为
x2
a2−
y2
4−a2＝1（0＜a²＜4），
将点（3，
7）代入上式，得[9
a2−
7
4−a2＝1．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为
x2/2−
y2
2]=1．…（4分）
（2）设M（x，y），
∵点M满足

QM＝

MP，
∴M为线段PQ的中点，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为
x2
2−
y2
2=1，
得动点M的轨迹方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴

1−k2≠0
△＝(−4k)

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容易出错．