三角形ABC中角A.B.C所对的边分别为a,b,c且满足cos2c+2被根号2cosC+2=0
三角形ABC中角A.B.C所对的边分别为a,b,c且满足cos2c+2被根号2cosC+2=0
（1）求角C的大小
(2)若b=根号2a,三角形ABC的面积为2分之根号2sinAsinB,求sinA及c的值?
（1）求角C的大小
(2)若b=根号2a,三角形ABC的面积为2分之根号2sinAsinB,求sinA及c的值?
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(1)cos2C=2cos²C-1.设cosC=x,则原等式可化成2x²+2√2*x+1=(√2*x+1)²=0,解得x=-√2/2.∴C=135°
(2)由正弦定理得S=absinC/2=√2*sinAsinB/2,b=√2*a因此√2*a²sinC=√2*sinAsinB,即a²sinC=sinAsinB
∵a/sinA=c/sinC,∴asinC=csinA,两边乘以a,得到a²sinC=acsinA=sinAsinB,即ac=sinB
a/sinA=b/sinB,∴sinB=bsinA/a=√2*sinA.因此有ac=√2*sinA
a=csinA/sinC,带入得c²sinA/sinC=√2*sinA,即c²=√2*sinC=√2*1/√2=1,c=1
由馀弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+2a²-2√2*a²cos135°=5a²=1,a=√(1/5)
sinA=asinC/c=√10/10
(2)由正弦定理得S=absinC/2=√2*sinAsinB/2,b=√2*a因此√2*a²sinC=√2*sinAsinB,即a²sinC=sinAsinB
∵a/sinA=c/sinC,∴asinC=csinA,两边乘以a,得到a²sinC=acsinA=sinAsinB,即ac=sinB
a/sinA=b/sinB,∴sinB=bsinA/a=√2*sinA.因此有ac=√2*sinA
a=csinA/sinC,带入得c²sinA/sinC=√2*sinA,即c²=√2*sinC=√2*1/√2=1,c=1
由馀弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+2a²-2√2*a²cos135°=5a²=1,a=√(1/5)
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