如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________________

答案填 ②,③,④.

①∠BAD＝∠ACD 不行,这是任何一个直角三角形,你作出斜边上的高都能得到的结论.

②∠BAD＝∠CAD 正确.因为AD分出两个直角三角形 △BAD和△CAD,现∠BAD＝∠CAD
则可得∠B=∠C.所以三角形ABC是等腰三角形.

③AB+BD＝AC+CD 正确.此时两腰为AB=AC.
用反证法：设 AB≠AC,不妨为 AB ＞AC ,则有AB²>AC² .
从而 AB²-AD²> AB²-AD² ,即BD²>DC²,故得 BD>DC..
又因为 AB ＞AC, BD>DC 所以得 AB+BD>AC+CD 与原命题条件矛盾.故③正确

④AB-BD＝AC-CD正确.证明如下：
在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD为公共高,所以 AB²-BD² = AC²-DC² = AD² （勾股定理）
利用因式分解得 (AB+BD)(AB-BD)＝(AC+CD)( AC-CD).
但因为 AB-BD＝AC-CD,所以得 AB+BD＝AC+CD .这就回到了条件③.因此④也是正确的.

③∵AB+BD=AC+CD
∴，两边平方得，AB²+2BD*AB+BD²=AC²+2AC*CD+CD²
而，根据勾股定理得，AB²=AD²+BD² AC²=AD²+CD²
即，转化得出，AD²+BD²+2BD*AB+BD²=AD&...

自己画图看看。
1选项根本不搭边。2就不说了，三角形全等。
3：延长AB至E，延长AC至F ，使BE=BD，CF=DC。因为AB+BD=AC+DC，所以三角形AEF为等腰三角形，因为AD是高，所以当BD+DC=BC，所以BD增大时，DC缩小，又因为AB随着DB的减小而减小（因为AB平方等于AD平方加BD平方），同理，AC随着DC的增大而增大，再因为BE=BD，BF=DC，所以AB+...