已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+，

（I）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2． n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0， ∵an+an-1＞0， ∴an-an-1=3， ∴{an}为等差数列， ∵a1=2， ∴an=3n-1． （II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn−1)＝1， ∴bn＝log2 3n 3n−1 ∴Tn=b1+b2+…+bn=log2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 ) 要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )+1＜log2（an+3） 即证( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2＜ 3n+2 2 即证 2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2 3n+2 ＜1 令cn＝ 2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2 3n+2 ， ∴ cn+1 cn ＝ 9n2+18n+9 9n2+21n+10 ＜1 ∵cn＞0，∴cn+1＜cn， ∴{cn}是单调递减数列 ∴cn≤c1＝ 2×( 3 2 )2 3×1+2 ＝ 9 10 ＜1 ∴cn＝ 2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2 3n+2 ＜1 故2Tn+1＜log2（an+3）．