（2011•遂宁二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈

解题思路：（I）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（II）根据数列{b_n}满足an(2bn−1)＝1，可得bn＝log2

3n

3n−1

，从而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n−1

)，利用分析法证明．要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n−1

)+1＜log₂（a_n+3），即证

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2

3n+2

＜1，构造函数cn＝

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n−1 )2

3n+2

，可得{c_n}是单调递减数列，即可证出结论．

（I）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，
∵a₁=2，
∴a_n=3n-1．
（II）证明：∵数列{b_n}满足an(2bn−1)＝1，
∴bn＝log2
3n
3n−1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(
3
2×
6
5×…×
3n
3n−1)
要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2(
3
2×
6
5×…×
3n
3n−1)+1＜log₂（a_n+3）
即证(
3
2×
6
5×…×
3n
3n−1)2＜
3n+2
2
即证
2(
3
2×
6
5×…×
3n
3n−1)2
3n+2＜1
令cn＝
2(
3
2×
6
5×…×
3n
3n−1)2
3n+2，
∴
cn+1
cn＝
9n2+18n+9
9n2+21n+10＜1
∵c_n＞0，∴c_n+1＜c_n，
∴{c_n}是单调递减数列
∴cn≤c1＝
2×(
3
2)2
3×1+2＝
9
10＜1
∴cn＝
2(
3
2

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．