若函数f(x)=x3+ax2+c.有极值点x1.x2且f(x1)=x1则3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实数

注意后面那个
3(f(x))^2+2af(x)+b
只是把f'(x)的式子的x换成了f(x)


所以要求
3(f(x))2+2af(x)+b=0的根,就是要找f(x)=x1和f(x)=x2的所有x
[原因:x1和x2是3x^2+2ax+b=0的根]


题目给定f(x1)=x1,所以可以知道x1恰好是3次曲线的一个拐点(局部极值),不论是什么样的f(x)=x1一定和那个局部极值点有交点,此外还有一个交点(图上f(x)=x1的直线的意义).总共2个交点
图上是假设x1是左边那个拐点,所以x2一定是右边那个拐点的横坐标,可以知道x2>x1=f(x1),所以f(x)=x2一定在f(x)=x1上方,所以只有1个交点.(如图所示)
总共加起来3个交点.


事实上解析少了一种情况,当x1是右边那个拐点的时候,x2就是坐标那个拐点的横坐标,所以x2这样f(x)=x2就会在f(x)=x1下方,图不同但是是上下对称的.同样3个交点.
给你简单画了一下,希望看得清：





3个交点就意味着f(x)=x1和f(x)=x2两个方程加起来有3个解,也就是原来那个方程有3个解.

这个题目的解有点儿问题。

（1）题目并没有说x1

（2）f（x1）=x1的条件没有用到。

如果撇开这个x1

将f‘（x）=0的两个根分别叫做x左，x右，x左

f'(x)=3x^2+2ax+b=3(x-x左)(x-x右)

xx右时，f'(x)>0,函数是增函数，

x左

据此知道，f（x左）>f(x右)

f'(f(x))=3(f(x))^2+2af(x)+b=0;

因此有满足方程的两个关系：

f(x)=x左

f(x)=x右

函数是连续的。

x->+∞时，f(x)->+∞

x->-∞时，f(x)->-∞