已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三,过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线

e=c/a=√3/2,b/a=√(1-e²)=1/2；入欧椭圆的短半轴为 b ,则长半轴 a=2b,半焦距 c=√3b；
向量AF=3*向量FB,那么 A 点 y 坐标是 B 点 y 坐标的 -3 倍；
设过 F 的直线方程为 y=k(x-c),化为 x=(y/k)+c；代入椭圆 C 的方程 [(y/k)+√3b]²/(2b)²+(y²/b²)=1；
化简上述方程：(1+4k²)y²+2√3bky-b²k²=0；
根据 A、B 坐标关系可知,当 y是方程的解时,-3y 也是其解,所以应有：
y-3y=-2√3bk/(1+4k²),y*(-3y)=-b²k²/(1+4k²)；
上述两式消去 y：3b²k²/(1+4k²)²=(1/3)b²k²/(1+4k²),所以 1+4k²=9,k=±√2；