已知椭圆：x^2／a^2+y^2／b^2=1（a＞b＞0）经过点M（1,3／2）,其离心率为1／2.

因AOBP是平行四边形,所以对角线互相平分,即AB,PO的中点重合,A,B,P又在椭圆上,设 A(X1,Y1), B(X2,Y2), P(X’,Y’),就有以下方程构成的方程组: X1+X2=X’+0 Y1+Y2=Y’+0 X1²/4+y1²/3=1…..(1) X2²/4+y2²/3=1…….(2) X’²/4+y’²/3=1……..(3) (1)-(2)得:3(X1+X2)(X1-X2)+4(Y1+Y2)(Y1-Y2)=0 化为 -3(X1+X2)/4(Y1+Y2)=(Y1-Y2)/(X1-X2)=K (AB的斜率’且k存在时). 即 -3X’/4Y’=K…….(4) 由(4) 求出 X’²=(16/9) Y’²,…(5) 由(3) 求出 Y'²=(1/4)(12-3X’²)=3-(4/3)K² Y’², 得出Y’=9/(3+4K²) 代入(5)得 X’=16K²/(3+4K²) 因PO的平方=X’²+Y’²=(9+16K²)/(3+4K²) =4 -3/(4K²+3) K=0时分母取最小值,PO的平方取最小值3 K正负无穷大时, PO的平方趋向最大值4.K不存在时取到最大值4, 所以PO长的范围是[√3 , 2] （希望可以帮到您的~）