金月
春芽
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第一个问题:其中的一个DE应该是DF吧!若是这样,则有:CG=DE+DF.
方法一:
过C作CH⊥ED交ED的延长线于H.
∵CG⊥EG、HE⊥EG、CH⊥EH,∴CGEH是矩形,∴CG=EH.
∵EB⊥EH、CH⊥EH,∴EB∥CH,∴∠B=∠DCH.又AB=AC,∴∠B=∠DCF,
∴∠DCH=∠DCF,而CD=CD,∠DFC=∠DHC=90°,∴△DCF≌△DCH,∴DF=DH,
∴EH=DE+DH=DE+DF.结合证得的CG=EH,得:CG=DE+DF.
方法二:
∵AB=AC,∴△ABD、△ABC、△ACD是等底三角形,
∴△ABD的面积/△ABC的面积=DE/CG.△ACD的面积/△ABC的面积=DF/CG.
两式相加,得:(△ABD的面积+△ACD的面积)/△ABC的面积=(DE+DF)/CG.
显然,(△ABD的面积+△ACD的面积)/△ABC的面积=1,∴(DE+DF)/CG=1,
∴CG=DE+DF.
第二个问题:此时CG=DE-DF.考虑到对称性,只需要证明D在BC的延长线上就可以了.
方法一:
过C作CK⊥DE交DE于K.
∵CG⊥GE、EK⊥GE、CK⊥EK,∴CKEG是矩形,∴CG=EK.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠DCF.
∵CK⊥EK、BE⊥EK,∴BE∥CK,∴∠B=∠DCK,结合证得的∠B=∠DCF,得:
∠DCK=∠DCF,又CD=CD,∠CKD=∠CFD,∴△CDK≌△CDF,∴DK=DF,
∴EK=DE-DK=DE-DF,结合证得的CG=EK,得:CG=DE-DF.
方法二:
∵AB=AC,∴△ABC、△ABD、△ACD是等底三角形,
∴△ABC的面积/△ABD的面积=CG/DE.△ACD的面积/△ABD的面积=DF/DE.
两式相加,得:(△ABC的面积+△ACD的面积)/△ABD的面积=(CG+DF)/DE.
显然,(△ABC的面积+△ACD的面积)/△ABD的面积=1,∴(CG+DF)/DE=1,
∴CG+DF=DE,∴CG=DE-DF.
1年前
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