在三角形ABC 中,AB=AC,D为BC上的任意一点试证明：AB的平方-AD的平方=BD×CD

没学过余弦定理可如此：
在三角形ABC中,从顶点A向底边BC作垂线,与BC相交于E点,那么
AE就是三角形ABC、三角形ADC的一条高.
同时,由于已知 BD=2DC 可得：BC=3DC, 那么
在三角形ABE中,|AE|^=|AB|^-|BE|^
在三角形AEC中,|AE|^=|AC|^-|EC|^
=|AC|^-|BC-BE|^
=|AC|^-|3DC-BE|^
=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|-|BE|^
在三角形AED中,|AE|^=|AD|^-|ED|^
=|AD|^-|BD-BE|^
=|AD|^-|2DC-BE|^
=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|-|BE|^
从上述可得如下等量关系：
① |AB|^-|BE|^=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|-|BE|^
② |AB|^-|BE|^=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|-|BE|^
简化后可得：① |AB|^=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|
② |AB|^=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|
上述②x3-①x2并移项可得：
|AB|^+2|AC|^=3|AD|^+6|DC|^
证明结束.
由BD=2DC
得知|BC| =3|CD| 根据余弦公式
|AB|平方=|AC|平方+9|CD|平方-6|AC|*|CD|cos∠ACB ①
|AD|平方=|AC|平方+|CD|平方-2|AC|*|CD|cos∠ACB ②
由①-3*②得|AB|平方-3|AD|平方=6|CD|平方-2|AC|平方
移项得 |AB|平方+2|AC|平方=3|AD|平方+6|CD|平方