数学周期函数证明题已知f(x)为R上的奇函数,且函数关于x=1对称.求证f(x)为周期为4的周期函数.不要通过图像证明的

数学周期函数证明题
已知f(x)为R上的奇函数,且函数关于x=1对称.求证f(x)为周期为4的周期函数.
不要通过图像证明的.

lwx123456789 1年前已收到3个回答举报

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根据已知条件,可得
1 f(-x)=-f(x)
2 f(1+x)=f(1-x)
对所有实数都成立,
则 f(x+4)=f[1+(x+3)]
=f[1-(x+3)]
=f(-2-x)
=-f(2+x)
=-f[1+(1+x)]
=-f[1-(1+x)]
=-f(-x)
=f(x)
所以,f(x)是周期为4的周期函数.

1年前

calmlu 幼苗

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因为函数关于x=1对称，所以f(x)＝f(2－x)
又f(x)为R上的奇函数，所以f(2－x)＝－f(x－2)由函数关于x=1对称，f(x－2)＝f(4－x)＝－f(x－4)
综上，f(x)＝f(x－4)恒成立，即f(x)＝f(x＋4)恒成立，所以f(x)为周期为4的周期函数。

1年前

chimneyde 幼苗

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证：函数f（x）是奇函数
f（x）＝－f（－x）
又f（x）关于直线x＝1对称
f（2＋x）＝f(－x)＝－f（x）
再将x换成x+2，得：
f（x+4）＝－f（x＋2）=f（x）．
即证 f（x）是以4为周期的周期函数．

1年前

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