初二数学几何证明题已知:Rt△ABC中,角A=90°,AB=AC,D是BC边上一点,作DE⊥BC,垂足D,交AB于E,连
初二数学几何证明题
已知:Rt△ABC中,角A=90°,AB=AC,D是BC边上一点,作DE⊥BC,垂足D,交AB于E,连接EC,取中点M,连接DM 和BM
(1) 若D不与B重合,如图,求证:AM=DM,且AM⊥DM
(2) 若图中的∠BDE绕B点逆时针转小于45°的角,取EC的中点M,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请举出反例.
已知:Rt△ABC中,角A=90°,AB=AC,D是BC边上一点,作DE⊥BC,垂足D,交AB于E,连接EC,取中点M,连接DM 和BM
(1) 若D不与B重合,如图,求证:AM=DM,且AM⊥DM
(2) 若图中的∠BDE绕B点逆时针转小于45°的角,取EC的中点M,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请举出反例.
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（1）证明：AM为Rt△AEC斜边主的高,AM=1/2EC
MD为Rt△DEC斜边主的高,DM=1/2EC
所以AM=DM
由△AMC和△DMC均为等腰三角形,得∠MAC=∠MCA ;∠MCD=∠MDC
∠AMD=∠AME+∠DME=∠MAC+∠MCA +∠MCD+∠MDC=2（MCA +∠MCD）
=2∠BCA=2×45°=90° 得AM⊥DM
（2）此时的情况为.∠BDE仍然为90度,∠B小于45度
可得AM=DM 证明方法见（1）
AM与DM不垂直,
反例：
由∠B＜45°＜∠C ,可知AC＜AB.取AE=AC
当AE=AC时,AM为等腰△AEC的中线,可得AM⊥CE,即∠AME=90°
而∠AMD=∠AME+∠DME＞90°,即AM与DM不垂直.
MD为Rt△DEC斜边主的高,DM=1/2EC
所以AM=DM
由△AMC和△DMC均为等腰三角形,得∠MAC=∠MCA ;∠MCD=∠MDC
∠AMD=∠AME+∠DME=∠MAC+∠MCA +∠MCD+∠MDC=2（MCA +∠MCD）
=2∠BCA=2×45°=90° 得AM⊥DM
（2）此时的情况为.∠BDE仍然为90度,∠B小于45度
可得AM=DM 证明方法见（1）
AM与DM不垂直,
反例：
由∠B＜45°＜∠C ,可知AC＜AB.取AE=AC
当AE=AC时,AM为等腰△AEC的中线,可得AM⊥CE,即∠AME=90°
而∠AMD=∠AME+∠DME＞90°,即AM与DM不垂直.
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