在空间四边形ABCD中,AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8,求AC与BD所成角的余弦值.

本来用空间向量解题是比较方便的,而用一般立体几何法较麻烦,既然未学过向量,那就不妨试用一般方法来解,如图所示,E、F、G、H、I、J分别是AD、AB、BC、AC、CD、BD的中点,先连结FG、GI、IE、EF、EG、FI,EG∩FI=O,∵EF、GI分别是△ABD、△CBD中位线,∴EF//BD,GI//BD,EF=BD/2,GI=BD/2,∴EF//GI,EF=GI,∴四边形EFGI是平行四边形,同理EG//EI,EG=EI=AC/2,∵AC=BD=8,∴FG=EF=4,∴四边形EFGI是菱形,∴EG⊥FI,同理可证四边形FHJI,四边形GHEJ也是菱形,根据菱形对角线互相垂直平分的性质,O点是三个菱形的公共交点,∵GO⊥FI,GO⊥HJ,FI∩HJ=O.∴GO⊥平面FJIH,GF=GI=BD/2=3,GJ=GH=CD/2=7/2,FH=HI=IJ=FJ=BC/2=4,设OH=JO=x,OI=OF=y,根据勾股定理,GF^2-OF^2=OG^2.GH^2-OH^2=OG^2,3^2-y^2=(7/2)^2-x^2,x^2-y^2=13/4,(1)IO^2+OH^2=IH^2,x^2+y^2=16,(2),(1)+(2)式,x=√154/4.y=√102/4,IF=2OF=√102/2,在△GIF中,根据余弦定理,cos