如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.

（1）由A（4,0）,可知OA=4,
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C（0,4）,B（-1,0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
则
ab+c＝0
16a+4b+c＝0
c＝4
,
解得：
a＝1
b＝3
c＝4
,
则抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线,垂足是M．
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
设P（m,-m2+3m+4）,
则m=-m2+3m+4-4,
解得：m1=0（舍去）,m2=2．
∴-m2+3m+4=6,
即P（2,6）．
第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴,
由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF．
∴P2N=NF,
设P2（n,-n2+3n+4）,
则n=（-n2+3n+4）+4,
解得：n1=-2,n2=4（舍去）,
∴-n2+3n+4=-6,
则P2的坐标是（-2,-6）．
综上所述,P的坐标是（2,6）或（-2,-6）；
（3）连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF．
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短．
由（1）可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,
则AC=
OC2+OA2
=4
2
,
根据等腰三角形的性质,D是AC的中点．
又∵DF∥OC,
∴DF=
1
2
OC=2,
∴点P的纵坐标是2．
则-x2+3x+1=2,
解得：x=
3±
17
2
,
∴当EF最短时,点P的坐标是：（
3+
17
2
,2）或（
3
17
2
,2）．
点评：本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．