已知a.b.c均为正数,且a+b+c=1,求证(1/a)-1,(1/b)-1,(1/c)-1的乘积大于等于8

已知a.b.c均为正数,且a+b+c=1,求证(1/a)-1,(1/b)-1,(1/c)-1的乘积大于等于8
用基本不等式解.注意是8,不是8abc

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因为a+b+c=1,
((1/a)-1)*((1/b)-1)((1/c)-1)=(a+b+c-a)/a * (a+b+c-b)/b * (a+b+c-c)/C
=(b+c)/a * (a+c-b)/b * (a+b)/C
因为a.b.c均为正数,则有 A+B>=2根下(AB),且 A=B时候,相等
所以原式>=(2根下(bc))/a *(2根下(ac))/b *(2根下(ab))/c=8abc/abc=8
所以三数乘积>=8,且当a=b=c=1/3时候,为8

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