（2013•镇江二模）已知x，y均为正数，θ∈(π4，π2)，且满足[sinθ/x＝cosθy]，cos2θx2+sin

（2013•镇江二模）已知x，y均为正数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，且满足[sinθ/x＝
cosθ
y]，
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
＝
10
3(x2+y2)
，则[x/y]的值为
3
3
．
joyyy1818 1年前 已收到1个回答 举报
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水煮小鱼 幼苗

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解题思路：由
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
＝
10
3(x2+y2)
，两边同乘以x2+y2得到
y2cos2θ
x2
+
x2sin2θ
y2
＝
7
3
；把[sinθ/x
＝
cosθ
y]代入上式得
cos4θ
sin2θ
+
sin4θ
cos2θ
＝
7
3
，可化为
cos6θ+sin6θ
sin2θcos2θ
＝
7
3
，
利用立方和公式可以把cos6θ+sin6θ化为1-3sin2θcos2θ，可化为sin2θcos2θ＝
3
16
，与sin2θ+cos2θ=1联立
sin2θcos2θ＝
3
16
sin2θ+cos2θ＝1
，即可解得sin2θ与cos2θ．再根据θ∈(
π
4
，
π
2
)得0＜cosθ＜
2
2
＜sinθ＜1，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．

∵
cos2θ
x2+
sin2θ
y2＝
10
3(x2+y2)，∴(x2+y2)(
cos2θ
x2+
sin2θ
y2)＝
10
3，化为
y2cos2θ
x2+
x2sin2θ
y2＝
7
3，（*）
∵[sinθ/x＝
cosθ
y]，
∴[x/y＝
sinθ
cosθ]，[y/x＝
cosθ
sinθ]，代入（*）得
cos4θ
sin2θ+
sin4θ
cos2θ＝
7
3，
化为
cos6θ+sin6θ
sin2θcos2θ＝
7
3，
∵cos6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ-sin2θcos2θ）=1×[（cos2θ+sin2θ）2-3sin2θcos2θ]=1-3sin2θcos2θ，
∴
1−3sin2θcos2θ
sin2θcos2θ＝
7

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．

1年前

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