已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证a分之1+b分之1+c分之1大于等于9?

我我我想说 1年前 已收到4个回答 举报

flyarrow 幼苗

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∵a+b+c=1
原式=(a分之一+b分之一+c分之一)*(A+B+C)
=3+A分之B+A分之C+B分之A+B分之C+C分之A+C分之B
∵A分之B+B分之A≥2
A分之C+C分之A≥2
B分之C+C分之B≥2
原式=3+A分之B+A分之C+B分之A+B分之C+C分之A+C分之B≥2+2+2+3=9

1年前

8

娇我爱你 幼苗

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法一:利用均值不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3(abc)^(1/3)*3/(abc)^(1/3)=9
因为a+b+c=1,所以1/a+1/b+1/c≥9
当且仅当a=b=c=1/3时取等号
法二:利用Cauchy不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
法三:因为调和平均<=算术平均(Hn<=...

1年前

2

薄荷红茶1985 幼苗

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a分之1用1/a表示,其它类似~~
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1
=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)
≥3+2根号[(a/b)(b/a)]+2根号[(b/c)(c/b)]+2根号[(a/c)(c/a)]
=3+2+2+2
=9
因为a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c≥9
当且仅当a=b=c=1/3时不等式取等号

1年前

1

痞子e人 幼苗

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1/a+1/b+1/c
=(1/a+1/b+1/c)×(a+b+c)
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)+3
>=2+2+2+3=9
等号成立条件为a=b=c=1/3

1年前

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