已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*

（本小题满分12分）
（1）∵S_n=2a_n-n，…①
∴a₁=2a₁-1，解得a₁=1…．（1分）
且S_n-1=2a_n-1-（n-1）…②
①-②得a_n=2a_n-1+1…．（2分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列…．（3分），
∴an＝2n−1．…．（4分）
（2）证明：∵
an
an+1＝
2n−1
2n+1−1＝
2n−1
2(2n−
1
2)＜
1
2…．（6分）
∴
a1
a2+
a2
a3+…+
an
an+1＜
n
2．…．（8分）
∵
an
an+1=
2n−1
2n+1−1=
2n−1
2(2n−
1
2)=[1/2(1−
1
2n+1−1)=
1
2−
1
2•2n+1−2]
=[1/2−
1
2n+1+2n+1−2]＞[1/2−
1
2n+1]．…．（10分）
∴
a1
a2+
a2
a3+…+
an
an+1＞
n
2−(
1
22+
1
23+…+
1
2n+1)＝
n
2−
1
2(1−
1
2n)＞
n−1
2，
∴[n−1/2＜
a1
a2+
a2
a3+…+
an
an+1＜
n
2]…．（12分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项法的合理运用．

1年前

回答问题