已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}

已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2的n次方(n≧2且n∈N)(1)求证数列{an/2的n次方}
是等差数列
英熊笨色 1年前 已收到3个回答 举报
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z3713777 幼苗

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A1=1 An=2An-1+2的n次方
所以,A2=2*1+2^2=2+2^2
A3=2*(2+2^2)+2^3=2^2+2*2^3
A4=2*(2^2+2*2^3)+2^4=2^3+2*2*2^3+2^4=2^3+3*2^4
A5=2*(2^3+3*2^4)+2^5=2^4+4*2^5
所以,An=2^(n-1)+(n-1)*2^n
所以,数列｛An/2的n次方｝是：
（2^(n-1)+(n-1)*2^n）/2＾n=(1+n-1)/2=n/2
2^n表示2的n次方

1年前

10

只爱杨宇峰 幼苗

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两边同时除以2^n
则an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
所以an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1
由等差数列的定义，数列{an/2的n次方}是等差数列

1年前

0

jiangshao82 幼苗

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∵a1＝1 ，
a2＝2*1＋2^2＝2＋2^2，
a3＝2*(2＋2^2)＋2^3＝2^2＋2*2^3，
a4＝2*(2^2＋2*2^3)＋2^4＝2^3＋2*2*2^3＋2^4＝2^3＋3*2^4。
∴可设想an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n。
现证明an＝2^（n－1）＋（n－1）*2^n成立：
当n＝1时，a1＝2^（1－1）＋（1－1...

1年前

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