求教一道高数题已知f(x)=g(x)h(x),h(x)在x=a处连续但不可导,g(x)在x=a处可导问：g(a)=0是f

1)充分性:
g(a)=0
故lim [g(x)h(x)-g(a)h(a)]/(x-a)=lim g(x)h(x)/(x-a)
而g(x)在x=a处可导
故lim [g(x)-g(a)]/(x-a)=lim g(x)/(x-a)存在
故lim g(x)h(x)/(x-a)存在
故f(x)在x=a处可导
2)必要性:
f(x)在x=a处可导
故lim [g(x)h(x)-g(a)h(a)]/(x-a)存在
即lim [g(x)h(x)-g(a)h(x)+g(a)h(x)-g(a)h(a)]/(x-a)
=lim h(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) + g(a)*[h(x)-h(a)]/(x-a)存在
若g(a)不为0,则上式右边那项极限不存在
而左边那项极限存在,故与整个式子的极限存在矛盾
故g(a)=0
综上,g(a)=0是f(x)在x=a处可导的充要条件