已知P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,F1为它的一个焦点,求证:以PF1为直径的圆与以长轴

以椭圆长轴为直径的圆,圆心为(0,0）,r=a,
∴它的方程为：x²+y²=a²
设P(x0,y0),F1(c,0),
∵以PF1为直径的圆的圆心M（ (c+x0)/2,y0/2 ）；
由焦半径公式,可得PF1=a-ex0,则r0=(a-ex0)/2；
∴圆的方程为：[x-(c+x0)/2]²+(y-y0/2)²=(a-ex0)²/4；
联立方程组：x²+y²=a²和[x-(c+x0)/2]²+(y-y0/2)²=(a-ex0)²/4；
r-r0=a-(a-ex0)/2=(a+ex0)/2；
∵圆心距d²= (c+x0)²/4+y0²/4=(c²+2cx0+x0²+y0²)/4,①
因为P在椭圆上,所以y0²=b²-(b²x0²2/a²)
代入①式,得d²=[c²+b²+2cx0+x0²-(b²x0²/a²)]/4
整理得：d²=[a²+2cx0+(ex0)²]/4
∴a²+2cx0+(ex0)²=(a+ex0)²,
所以d²=(a+ex0)²/4
即d=(a+ex0)/2=r-r0
所以两圆向内切.

设PF1的中点为M，则两圆圆心之间的距离为|OM|=1/2|PF2|=1/2(2a-|PF1|)=a-1/2|PF1|，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，所以两圆相切。