已知EF是椭圆x^2/4+y^2/2=1的左右焦点,点p在直线x=2根号2上,则∠EPF的最大值是?

根据椭圆的方程,可求出左右焦点坐标为：E(-√2,0),F(√2,0),右准线方程时：x=4/√2=2√2
由椭圆的对称性,可知P所在的准线l究竟是左准线还是右准线于结果无异,不妨设P在右准线l:x=2√2上,则P点坐标可设为(2√2,y)
于是根据两点距离公式,可列出：
|PE|=√[(2√2+√2)^+(y-0)^]=√(y^+18)
|PF|=√[(2√2-√2)^+(y-0)^]=√(y^+2)
|EF|=2√2
在△PEF中,运用余弦定理有：
|PE|^+|PF|^-2|PE|*|PF|*cos∠EPF=|EF|^
代入以上各y的表达式,并进行变形,可得：
cos∠EPF=(y^+6)/√[(y^+18)*(y^+2)]
=√{(y^+6)^/[(y^+18)*(y^+2)]}
=√[(y^4 +12y^+36)/(y^4 +20y^+36)
=√[1-8y^/(y^4 +20y^+36)]
单独讨论项：8y^/(y^4 +20y^+36),易知当y=0时,最小值为0；
当y≠0时,上式可继续变形为：
8/(y^ + 36/y^ +20)
此式的分母中,y^ >0,36/y^>0,故可根据均值不等式得出：
当y^=36/y^,即y^=6,y=±√6时,分母y^ + 36/y^ +20 的最小值为：
2√(y^ * 36/y^) +20=32
故,项 8/(y^ + 36/y^ +20)的最大值为8/32=1/4
综合起来有： 8y^/(y^4 +20y^+36) ∈[0,1/4]
将此值的范围代入原式：cos∠EPF=√[1 - 8y^/(y^4 +20y^ +36)]
可得到cos∠EPF ∈ [√3/2 , 1]
于是可得：∠EPF ∈ [0,π/6]
故,∠EPF的最大值为π/6
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