如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱PD 垂直ABCD,E、F分别是AB 、PC 的中点⑴若
如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱PD 垂直ABCD,E、F分别是AB 、PC 的中点⑴若AB =2,PA =4,求四棱锥P-ABCD的体积⑵求证：EF 平行平面PAD 过棱长为2的正方体AC 1的棱AD 、CD 、A1B1的中点E、F、G作一截面,则三角形EFG 面积为（）点B到平面EFG 的距离为（）
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（I）证明：∵ABCD是矩形 ∴CD⊥AD
又∵PA⊥平面ABCD,AD是PD在平面ABCD上的射影
由三垂线定理：CD⊥PD （3分）
（Ⅱ）证明：取CD中点N,连结EN、FN.
∵E、F分别是AB、PC的中点 ∴FN‖PD,EN‖AD.
∵
∴FN‖ ,EN‖ （5分）
∵ ∴平面EFN‖平面PAD
∵ ∴ （7分）
（Ⅲ）当平面PCD与平面ABCD成45°角时,直线EF⊥平面PCD （8分）
∵AB‖CD ∴CD⊥AD,PD⊥CD,即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角.
连结PE,EC
又∠PDA=45° ∴PA=AD=BC 又AE=EB
∴ ∴PE=EC （10分）
∵F为PC的中点
∴EF⊥PC 又FN‖PD EN‖AD ∴CD⊥FN ∴CD⊥EN
∴CD⊥平面EFN ∴CD⊥EF
∵CD∩PC=C ∴EF⊥平面PCD （12分）
又∵PA⊥平面ABCD,AD是PD在平面ABCD上的射影
由三垂线定理：CD⊥PD （3分）
（Ⅱ）证明：取CD中点N,连结EN、FN.
∵E、F分别是AB、PC的中点 ∴FN‖PD,EN‖AD.
∵
∴FN‖ ,EN‖ （5分）
∵ ∴平面EFN‖平面PAD
∵ ∴ （7分）
（Ⅲ）当平面PCD与平面ABCD成45°角时,直线EF⊥平面PCD （8分）
∵AB‖CD ∴CD⊥AD,PD⊥CD,即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角.
连结PE,EC
又∠PDA=45° ∴PA=AD=BC 又AE=EB
∴ ∴PE=EC （10分）
∵F为PC的中点
∴EF⊥PC 又FN‖PD EN‖AD ∴CD⊥FN ∴CD⊥EN
∴CD⊥平面EFN ∴CD⊥EF
∵CD∩PC=C ∴EF⊥平面PCD （12分）
1年前
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