（2007•咸安区模拟）如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，

解法1：①取BE的中点O，连OC．
∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图，
则由已知条件有：C（1，0，0），B(0，
3，0)，E(0，−
3，0)D（1，0，1），A(0，
3，2)（4分）
设平面ADE的法向量为n=（a，b，c），
则由n•

EA=(a，b，c)•(0，2
3，2)=2
3b+2c＝0．
及n•

DA=(a，b，c)•(−1，
3，1)=−a+
3b+c＝0．
可取

n=(0，1，−
3)（6分）
又AB⊥平面BCE．
∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为

m=（1，0，0）．
∵

m•

n=(0，1，−
3)•（1，0，0）=0，
∴

n⊥

m
∴平面ADE⊥平面ABE．（8分）
②点C到平面ADE的距离为|


CA•

n
|

n||＝|
(−1，
3，2)•(0，1，−
3)
2|＝

3
2（12分）
解法2：①取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，CD．则OF

∥
.
.[1/2BA


∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD
∴CD

∥
.
.][1/2BA，OF

∥
.
.]CD
∴OC∥FD（3分）
∵BC=CE，
∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．
∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
②∵CD

∥
.
.[1/2BA，延长AD，BC交于T
则C为BT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的
1
2]．（8分）
过B作BH⊥AE，垂足为H．
∵平面ADE．⊥平面ABE．
∴BH⊥平面BDE．
由已知有AB⊥BE．BE=2
3，AB=2，
∴BH=
3，
从而点C到平面ADE的距离为

3
2（12分）

点评：
本题考点： 向量语言表述面面的垂直、平行关系；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查线面垂直和点到面的距离，本题求距离也可以这样解：OC∥FD，点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为32．或取A B的中点M．易证CM∥DA．点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为32．

1年前

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