(2012•邯郸一模)如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=2.

(2012•邯郸一模)如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=
2

(Ⅰ)求证:平面EAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-EC-D的余弦值.
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liangfengfj 幼苗

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解题思路:(I)取AB的中点O,连接EO,CO.由题意,可得△AEB是以AB为斜边的等腰直角三角形,得EO⊥AB,再由等边三角形△ACB
的高线CO=
3
,得到平方关系:EC2=EO2+CO2,得EO⊥CO,所以EO⊥平面ABCD,从而得到平面EAB⊥平面ABCD;
(II)以AB中点O为坐标原点,以OB、OE所在直线分别为y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,求出A、C、D、E各点的坐标,从而得到向量
AC
EC
DC
的坐标,利用垂直向量数量积为0的方法,建立方程组并解之,分别可求得平面DEC和平面EAC的法向量
n
m
的坐标,最后利用空间向量的夹角公式,可算出二面角A-EC-D的余弦值.

(I)取AB的中点O,连接EO,CO
∵△AEB中,AE=EB=
2,AB=2
∴AE2+EB2=2=AB2,得△AEB为等腰直角三角形
∴EO⊥AB,EO=1…(2分)
又∵△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°
∴△ACB是等边三角形,得CO=

3
2AB=
3,
又∵EC=2,∴△ECO中,EC2=4=EO2+CO2,得EO⊥CO…(4分)
∵AB、CO是平面ABCD内的相交直线,∴EO⊥平面ABCD,
又∵EO⊂平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD;…(6分)
(II)以AB中点O为坐标原点,以OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则A(0,−1,0),C(
3,0,0),D(
3,−2,0),E(0,0,1)


AC=(
3,1,0),

EC=(
3,0,−1),

DC=(0,2,0)…(8分)
设平面DCE的法向量

n=(x,y,1)




EC•

n=0


DC•

n=0,即


3x−1=0
2y=0,解得

x=

3
3
y=0,∴

n=(

3
3,0,1)
设平面EAC的法向量

m=(a,b,1)




AC•

m=0


EC•

m=0,即


3a+b=0

3a−1=0,解得

a=

3
3
b=−1,∴

m=(

3
3,−1,1)…(10分)
∵根据空间向量的夹角公式,得cos〈

m,

n>=


m•

n
|

m||

n|=
2
7
7
∴二面角A-EC-D的余弦值为
2
7
7…(12分)

点评:
本题考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.

考点点评: 本题给出特殊四棱锥,求证面面垂直并求二面角的余弦值,着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识,属于中档题.

1年前

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