如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角

1）过C作CD⊥AB,垂足为D,
所以∠CDA=90
所以∠CAB+∠CAD=90°
因为∠CAE=90
所以∠MAE+∠CAB=90
所以∠MAE=∠ACD
因为EM⊥AB
所以∠EMA=∠CDA,
因为AE=AC
所以△AEM∽△CAD
所以EM=AD
同理FN=BD
所以EM+FN=AD+BD=AB

2)


构造如图所示的圆,AB弧所对的圆周角为45°
当C距离AB最远时,△ABC面积最大,
因为∠CAB=45°
所以∠AOB=90
因为AB=1,
所以等腰直角三角形OAB中,OA=√2/2,OD=AD=1/2,
所以CD=r+OD=OA+OD=√2/2+1/2
所以△ABC面积=(1/2)*AB*CD=(√2+1)/4

3)

作E,F关于MN的对称点E'.F',A连E'F',EF'
由两点之间线段最短,得此时EF'与MN的交点就是点O,PE+PF最短
在直角三角形EE'F'中,EE'=EM+ME'=EM+NF'=EM+FN=AB=1,
E'F'=MN=MA+AB+BN=2CD+AB==√2+1+1=√2+2
由勾股定理,解得EF'=√(7+4√2)
所以PE+PF的最小值为√(7+4√2)