已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-c，0），C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）若已知椭圆的左焦点为（-1，0），右准线为x=4，圆x2+y2=[12/7]的切线与椭圆交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．
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解题思路：（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），根据C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等，可得方程
−x＝a+ex．利用x≤a，可建立不等关系，从而可求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）求求椭圆方程，再分斜率存在与不存在，利用直线方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理，从而得解．
| a2 |
| c |
（Ⅱ）求求椭圆方程，再分斜率存在与不存在，利用直线方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理，从而得解．
（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），则|PF1|=a+ex，P到右准线的距离为
a2
c−x，
故
a2
c−x＝a+ex，…（2分）
化简整理，得x＝
a2(a−c)
c(a+c)，而x≤a，
∴
a2(a−c)
c(a+c)≤a，即e2+2e-1≥0，解得
2−1≤e＜1．…（5分）
（Ⅱ）易求得椭圆的方程为C：
x2
4+
y2
3＝1．…（7分）
设切线AB不垂直于x轴时，AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
则原点到直线 AB的距离为m2＝
12
7(1+k2)．…（9分）
联立方程
y＝kx+m
x2
4+
y2
3＝1，
可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．…（10分）
∴
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质，关键是直线方程与椭圆方程的联立．
1年前
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