（2014•茂名一模）已知双曲线x2-y2=1的焦点与椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的焦点重合，且该椭圆的长轴

解题思路：（1）由双曲线方程求出双曲线的交点坐标，求得椭圆的半焦距，结合已知椭圆的长轴长求得a，则b可求，椭圆方程可求；
（2）设出P点M点及N点的坐标，由向量关系得到P、M、N的坐标关系，再由直线OM与ON的斜率之积为−

1

2

可得M、N的坐标关系，结合M、N在椭圆上可得P点的轨迹是椭圆，说明|PF₁|+|PF₂|为定值，并求出F₁，F₂的坐标；
（3）设出M与B的坐标，得到A，N的坐标，由题设知NA和NB的斜率相等，由此得到M与B的坐标的关系，然后结合M，B在椭圆上证出k_MN•k_MB+1=0，即k_MN•k_MB=-1，从而证得以NB为直径的圆经过点M．

（1）由题设可知：双曲线x²-y²=1的焦点为（±
2，0），
∴椭圆中的c=
2，
又由椭圆的长轴为4得a=2，
故b²=a²-c²=2．
故椭圆的标准方程为：
x2
4+
y2
2＝1；
（2）证明：设P（x_p，y_p），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

OP＝

OM+2

ON可得：

xP＝x1+2x2
yP＝y1+2y2 ①
由直线OM与ON的斜率之积为−
1
2可得：

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法，训练了利用向量关系求得点的坐标之间的关系，解答此题的关键是设出所用点的坐标，充分利用点在椭圆上这一特性，通过整体代换化简，此类问题的解决需要学生具有较强的计算能力和逻辑推理能力，是高考试卷中的压轴题．