长青树110
幼苗
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解题思路:根据双曲线方程,确定一条渐近线为y=2x,可得AB=2a且AB为题中圆的直径.由椭圆与双曲线有公共焦点,可得a
2-b
2=5.设C
1与y=2x在第一象限的交点为A(m,2m),代入C
1解出m
2=
.再由对称性知直线y=2x被C
1截得的弦长AB=2
m,根据C
1恰好将线段AB三等分解出m=
,联解可得a
2、b
2、c
2的值,结合离心率的公式加以计算,可得答案.
由题意,C2的焦点为(±
5,0),一条渐近线方程为y=2x,
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点,满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,
∴C1的半焦距c=
5,可得a2-b2=5,…①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A(m,2m),
代入C1的方程,解得m2=
a2b2
b2+4a2,…②
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5m,
结合题意得2
5m=[2a/3],可得m=
a
3
5,…③
由②③联解,得a2=11b2…④
再联解①④,可得a2=5.5,b2=0.5,得c2=a2-b2=5.
∴椭圆C1的离心率e满足e2=(
c
a)2=
c2
a2=[10/11].
故选:A
点评:
本题考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
考点点评: 本题给出双曲线与椭圆共焦点,在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时,求椭圆的离心率的值.着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识,属于中档题.
1年前
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