已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆Γ的两焦点．
已知椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆Γ的两焦点．
（Ⅰ）若P是椭圆Γ上的任一点，|PF1|+|PF2|=4且椭圆Γ的离心率e=[1/2]，求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知两直线l1，l2，直线l1：y=k1x+m（m≠0）交椭圆Γ于A、B两点，若C为AB的中点，直线l2：y=k2x过点C．求证：k1•k2=-
；
（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性．在（Ⅱ）中，我们得到关于椭圆的一个优美结论．请你写出关于双曲线E：
-
=1的一个相类似的结论（不需证明）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）若P是椭圆Γ上的任一点，|PF1|+|PF2|=4且椭圆Γ的离心率e=[1/2]，求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知两直线l1，l2，直线l1：y=k1x+m（m≠0）交椭圆Γ于A、B两点，若C为AB的中点，直线l2：y=k2x过点C．求证：k1•k2=-
| b2 |
| a2 |
（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性．在（Ⅱ）中，我们得到关于椭圆的一个优美结论．请你写出关于双曲线E：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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解题思路：（Ⅰ）由已知求出椭圆的长半轴长，结合离心率求出半焦距，再由b2=a2-c2求出b2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线l1的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标与纵坐标的和，再把l2的斜率用含有a，b，k1的代数式表示，则结论得到证明；
（Ⅲ）直接类比椭圆的结论得到关于双曲线E：
-
=1的一个相类似的结论．
（Ⅱ）联立直线l1的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标与纵坐标的和，再把l2的斜率用含有a，b，k1的代数式表示，则结论得到证明；
（Ⅲ）直接类比椭圆的结论得到关于双曲线E：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
∵|PF1|+|PF2|=4，
∴2a=4，即a=2，
又离心率e＝
c
a＝
1
2，
∴c=1，b2=4-1=3，
∴椭圆Γ的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（II）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
联立
y＝k1x+m
x2
a2+
y2
b2＝1，消去y，得
(b2+a2k12)x2+2k1ma2x+a2m2−a2b2＝0．
∴x1+x2＝
−2k1ma2
b2+a2k12，y1+y2＝k1•
−2k1ma2
b2+a2k12+2m＝
2mb2
b2+a2k12
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题是直线与圆锥曲线关系的综合题，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．
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