（2009•河东区二模）已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)．
（2009•河东区二模）已知椭圆
+
＝1(a＞b＞0)．
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆
+
＝1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2为两焦点，记∠F1PF2=θ，求证|PF1|•|PF2|＝
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2b2 |
| 1+cosθ |
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解题思路：（1）由题意可得|MF|max=a+c，|MF|min=a-c，及题意可得a．再利用轴对称即可得出点A，即可．
（2）利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．
（2）利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．
（1）∵|MF|max=a+c，|MF|min=a-c，
∴[1/2(a+c+a−c)＝a＝4，
又A与N（-2，0）关于y=-x对称，∴有A（0，2），∴b=2．
∴椭圆方程为
x2
16+
y2
4＝1．
（2）∵|PF1|+|PF2|=2a，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF1|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1||PF1|−2|PF1||PF2|cosθ，
∴（2c）2=（2a）2-2（1+cosθ）|PF1||PF2|，
∴|PF1|•|PF2|＝
2a2−2c2
1+cosθ＝
2b2
1+cosθ]．
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 熟练掌握椭圆的定义与性质、余弦定理等是解题的关键．
1年前
5
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